Velkommen

Skriv dit fornavn, så gemmes dine svar og dit resultat i denne browser. Så kan du fortsætte, hvor du slap, næste gang.

Matematik · Funktioner og ligninger
9. klasse · kernestof

Funktioner og ligninger

Denne side gennemgår det, du skal kunne om ligninger og lineære funktioner i 9. klasse: at løse ligninger med parenteser, brøker og x på begge sider, at forstå forskriften y = ax + b, og at aflæse og tegne grafer. Hvert modul har en forklaring med regneregler og eksempler, og en quiz med spørgsmål i stigende sværhedsgrad. Du kan bruge siden i klassen på tavlen, alene når du repeterer, eller printe den som opgaveark.

Quiz-fremgang: 0 af 0 spørgsmål besvaret

1 Ligninger

En ligning er to udtryk, der er lige store, med et lighedstegn imellem. At løse en ligning betyder at finde den værdi af x, der gør ligningen sand.

Tænk på lighedstegnet som en vægt i balance. Alt, hvad du gør på den ene side, skal du også gøre på den anden, ellers tipper vægten. Det er hele hemmeligheden bag at løse ligninger.

Regneregel · de fire tilladte træk
Du må lægge det samme til på begge sider, trække det samme fra på begge sider, gange begge sider med det samme tal, og dividere begge sider med det samme tal (undtagen 0). Målet er altid det samme: få x til at stå alene.

Eksempel: en simpel ligning

Løs 2x + 4 = 12. Vi fjerner først +4 og bagefter faktoren 2.

2x + 4 = 12
Vi starter her.
2x = 12 − 4 = 8
Træk 4 fra på begge sider.
x = 8 ÷ 2 = 4
Divider begge sider med 2. Prøve: 2·4 + 4 = 12.

Regneregel: reducer først (saml ens led)

Regneregel · reduktion
Led med x kan lægges sammen: 3x + 2x = 5x. Tal kan lægges sammen med tal. Bogstav og tal kan ikke slås sammen — 5x + 3 kan ikke reduceres yderligere.

Løs 3x + 2x − 4 = 11.

3x + 2x − 4 = 11
Saml de to x-led.
5x − 4 = 11
3x + 2x = 5x.
5x = 15
Læg 4 til på begge sider.
x = 3
Divider med 5.

Regneregel: parenteser

Regneregel · gang ind i parentes
Tallet uden for parentesen ganges ind på hvert led indeni: a(b + c) = a·b + a·c. Et minus foran en parentes vender fortegnet på alle led: −(x − 3) = −x + 3.

Løs 2(x + 3) = 14.

2(x + 3) = 14
Gang 2 ind i parentesen.
2x + 6 = 14
2·x + 2·3.
2x = 8
Træk 6 fra.
x = 4
Divider med 2.

Regneregel: ligninger med brøker

Regneregel · gang brøken væk
Står x i en brøk, ganger du begge sider med nævneren, så brøken forsvinder. Har ligningen flere brøker, ganger du med det tal, alle nævnere går op i.

Løs x/2 + 1 = 5.

x/2 + 1 = 5
Træk 1 fra først.
x/2 = 4
Nu står brøken alene.
x = 4 · 2 = 8
Gang begge sider med 2.

Ligninger med x på begge sider

Husk fortegnet. Når et led flytter over på den anden side af lighedstegnet, skifter det fortegn. +4 bliver til −4. Det er blot en hurtig måde at sige "læg til / træk fra på begge sider".

Løs 5x − 3 = 2x + 9.

5x − 3 = 2x + 9
Saml x-led til venstre.
3x − 3 = 9
Træk 2x fra på begge sider.
3x = 12
Læg 3 til.
x = 4
Divider med 3. Prøve: 5·4 − 3 = 17 = 2·4 + 9.
Quiz · Modul 1

Test dig selv: ligninger

Spørgsmålene bliver sværere undervejs. Du får svar og forklaring med det samme.

1. Løs x + 7 = 12. Let
2. Løs 2x + 5 = 17. Let
3. Løs 4x + 3x = 28. Mellem
4. Løs 4x − 2 = x + 10. Mellem
5. Løs 3(x + 2) = 18. Svær
6. Løs x/4 + 3 = 5. Svær
7. Løs 2(x + 3) = 4(x − 1). Udfordring
0 / 7 rigtige Ret dine fejl, og gå videre til lineære funktioner.

2 Lineære funktioner

En funktion er en regel, der til hvert x-tal giver præcis ét y-tal. En lineær funktion giver altid en ret linje, når man tegner den.

y = a · x + b a er hældningen (stigningstallet) · b er skæringen med y-aksen (begyndelsesværdien)

Hvad betyder a og b?

b — skæring med y-aksen

Det er y-værdien, når x = 0. Grafen skærer y-aksen i punktet (0, b). "Startværdien".

a — hældning

Hvor meget y ændrer sig, hver gang x vokser med 1. Positiv a: linjen går opad. Negativ a: linjen går nedad.

Se på y = 2x + 1. Her er a = 2 og b = 1. Linjen skærer y-aksen i (0, 1), og for hvert skridt til højre går den 2 op.

x y (0, 1)
Grafen for y = 2x + 1. Det grønne punkt (0, 1) er skæringen med y-aksen (b = 1). Fra det punkt går linjen 2 op for hvert 1 til højre (a = 2).

Regneregel: find hældningen a fra to punkter

Regneregel · hældning
Kender du to punkter (x₁, y₁) og (x₂, y₂): a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) — altså ændringen i y divideret med ændringen i x.

Linjen gennem (1, 3) og (4, 9): a = (9 − 3) / (4 − 1) = 6 / 3 = 2.

Regneregel: find hele forskriften fra to punkter

Regneregel · bestem forskrift
Find først a med formlen ovenfor. Sæt derefter et af punkterne ind i y = ax + b og løs for b.

Punkterne (1, 5) og (3, 11). Først a = (11 − 5)/(3 − 1) = 6/2 = 3. Sæt (1, 5) ind: 5 = 3·1 + b, så b = 2. Forskriften er y = 3x + 2.

Regneregel: nulpunkt (hvor grafen skærer x-aksen)

Regneregel · nulpunkt
På x-aksen er y = 0. Sæt y = 0 og løs ligningen for x.

For y = 2x − 6: sæt 0 = 2x − 6, så 2x = 6 og x = 3. Nulpunktet er (3, 0).

Parallelle linjer. To linjer er parallelle, når de har samme hældning a. Fx er y = 2x + 1 og y = 2x − 4 parallelle.
Sammenhængen med ligninger. Når du løser 2x + 1 = 7, spørger du: "For hvilket x giver funktionen y = 2x + 1 værdien 7?" På grafen svarer det til at finde det x, hvor linjen er i højden y = 7.
Quiz · Modul 2

Test dig selv: lineære funktioner

Brug y = ax + b. Spørgsmålene stiger i sværhedsgrad.

1. I y = 3x − 5: hvad er hældningen a? Let
2. Hvor skærer y = 3x − 5 y-aksen? Let
3. Hvad er y i y = 2x + 1, når x = 3? Let
4. En linje går gennem (2, 4) og (5, 13). Hældningen er? Mellem
5. Hvad er nulpunktet for y = 2x − 8? Mellem
6. Hvilken linje er parallel med y = 4x − 7? Svær
7. Find forskriften for linjen gennem (1, 5) og (3, 11). Udfordring
0 / 7 rigtige Godt gået. Nu til graferne.

3 Aflæsning af grafer

En graf viser sammenhængen mellem x og y som en linje i et koordinatsystem. Du skal kunne aflæse værdier og forstå, hvad de betyder.

Sådan aflæser du et punkt

Vil du finde y ud fra et bestemt x, går du lodret op fra x-aksen til linjen og derefter vandret ind til y-aksen. Vil du den anden vej, gør du det modsatte.

1 2 3 4 1 2 3
Her aflæses: når x = 2, er y = 2. Den stiplede linje viser vejen — lodret op fra x = 2 til grafen, derefter vandret ind til y-aksen. Denne linje har forskriften y = x.

Regneregel: bestem a og b direkte fra grafen

Regneregel · aflæs forskrift
b aflæses, hvor linjen skærer y-aksen. a findes ved at gå 1 til højre og se, hvor mange enheder linjen går op (eller ned). Så har du y = ax + b.

Regneregel: skæring mellem to grafer

Regneregel · skæringspunkt
To linjer krydser hinanden dér, hvor de har samme x og samme y. Du finder punktet ved at sætte de to forskrifter lig med hinanden og løse ligningen.

Hvor skærer y = 2x og y = x + 3 hinanden? Sæt lig: 2x = x + 3, så x = 3. Sæt ind: y = 2·3 = 6. Skæringspunktet er (3, 6).

Hverdagen i grafen. x kan være tid og y en pris, en afstand eller en mængde. Hældningen fortæller "hvor hurtigt", og skæringen med y-aksen fortæller "hvor man startede".
Quiz · Modul 3

Test dig selv: grafer

Kig på beskrivelserne og forskrifterne.

1. På grafen for y = x ovenfor: hvad er y, når x = 4? Let
2. En linje går nedad fra venstre mod højre. Hvad ved du om a? Let
3. To linjer krydser hinanden i (3, 5). Hvad betyder det? Mellem
4. En linje skærer y-aksen i (0, 2) og går 1 op for hvert 1 til højre. Forskriften er? Mellem
5. Hvor skærer y = 2x og y = x + 3 hinanden? Svær
0 / 5 rigtige Sidste stop: den blandede quiz.
Afslutning

Blandet quiz — hele emnet

Spørgsmål på tværs af ligninger, funktioner og grafer, i stigende sværhedsgrad.

1. Løs 6x − 4 = 2x + 12. Let
2. Hvilken funktion har hældning 4 og skærer y-aksen i (0, −2)? Let
3. En taxa koster 40 kr. i start plus 12 kr. pr. km. Prisen y for x km er? Mellem
4. Med y = 12x + 40: hvad koster en tur på 5 km? Mellem
5. Med y = 12x + 40: hvor mange km kan man køre for 100 kr.? Svær
6. Løs 5(x − 2) = 3x + 8. Svær
7. Hvor skærer y = 3x + 1 og y = x + 7 hinanden? Udfordring
0 / 7 rigtige

Du kan altid gå tilbage og læse afsnittene igen, hvis et spørgsmål driller.

R Dine resultater

Løs opgaverne, så udfyldes din oversigt her automatisk. Skriv dit fornavn øverst, hvis du vil have dit resultat gemt.

ModulRigtigeBesvaret